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回答 “世紀之爭” ，這項工作也可以拿諾獎

2022/10/10
導讀
AB效應和貝里相位
10.8
知識分子The Intellectual

制圖：王若男


 編者按

以色列科學家亞基爾·阿哈羅諾夫（Yakir Aharonov， 1932－）、英國科學家麥克·貝里（ Michael Berry，1941－）對于AB效應和貝里相位的研究，是值得獲諾貝爾獎的工作。
AB效應之所以引起物理界關注幾十年，因為它涉及到量子理論的根本問題：定域性還是非定域性？也就是與愛因斯坦和波爾“世紀之爭” 相類似的問題。AB效應，以及對貝爾1964年提出的貝爾不等式的實驗驗證，最終都證明了量子理論是非定域的。從這點看，AB效應與剛剛獲得2022年的諾貝爾物理學獎的Alan Aspect、John F. Clauser、Anton Zeilinger的工作有點“殊途同歸”。

撰文｜張?zhí)烊兀ɡ碚撐锢韺W博士、科普作家）

責編｜邸利會


 ●                  　●                   　●

阿哈羅諾夫-玻姆效應（ Aharonov-Bohm 效應，簡稱AB效應）和貝里相位（Berry phase）是現(xiàn)代物理中十分重要的概念，它們揭示了經(jīng)典電動力學及量子物理發(fā)展過程中，兩者之間具有深刻矛盾的一面。這兩個概念緊密相關，但是它們的發(fā)現(xiàn)卻相差了二十幾年。

AB效應是阿哈羅諾夫和他的博士導師大衛(wèi)·博姆（David Bohm，1917－1992）于1959年在英國布里斯托大學一起工作時提出的。

簡單的說，他們研究電磁作用中一個重要的量子效應，于1959年設計了巧妙的實驗來驗證這種效應。他們的這個實驗是量子力學和電動力學發(fā)展史上的重要實驗，說明了量子力學的非局域性質(zhì)。之后，他們的想法多次被實驗證實，對量子物理做出了基礎性的重要貢獻?？上Р┠吩缭?992年就已去逝。貝里相位則由貝里在1984年發(fā)現(xiàn)，并認為，AB效應能用幾何相位因子來解釋。

“AB” 這個名稱取自阿哈羅諾夫和博姆姓名的首字，巧合的是，物理學家也用A表示磁矢勢，B表示磁場，賦予AB 效應這個名字更加深刻的涵義。AB效應之所以引起重視，是因為它證明了電磁勢（包括矢量A及標量勢φ）的重要性，以及與其相關的電子波函數(shù)的相位的重要性。

AB效應和貝里相位的研究，深層次揭示了量子力學的非定域性與空間拓撲性質(zhì)的關系，使物理學家們從拓撲的、整體的觀點來研究物質(zhì)的不同形態(tài)。這對凝聚態(tài)物理中近年來發(fā)現(xiàn)的各種量子相變現(xiàn)象的研究特別有用。如量子霍爾效應中 [1]，不同的霍爾量子態(tài)對應不同的拓撲不變量，拓撲相變，成為近年來物理學研究中的熱門課題。


一種幽默

圖1 以色列科學家亞基爾·阿哈羅諾夫和英國科學家麥克·貝里 | 圖源：維基百科和physics.ucdavis.edu/


AB效應的A，阿哈羅諾夫，目前是加利福尼亞州查普曼大學的理論物理學教授，他出生在英國托管的巴勒斯坦（現(xiàn)以色列國）海法，在以色列理工學院讀完本科獲得理學學士學位后于1956年繼續(xù)在以色列理工學院讀研，之后與他的博士生導師，也即是AB效應的B，博姆，一同搬到了英國的布里斯托大學。1960年，28歲的阿哈羅諾夫獲得了博士學位，后來在以色列和美國的多所大學任教。

1998年，因為導師博姆在六年前已經(jīng)去世，阿哈羅諾夫因發(fā)現(xiàn)現(xiàn)代物理學基石之一的AB效應獨自獲得沃爾夫獎。他還是2009年總統(tǒng)國家科學獎章的獲得者，“以表彰他對量子物理學基礎的貢獻，以及從AB效應效應到弱測量理論等領域的意想不到的影響” 。 

貝里是英國數(shù)學物理學家，布里斯托爾大學教授。1982年成為皇家學會會員，1996年授以爵位。他主要以貝里相位而知名，該現(xiàn)象可以在量子力學和光學實驗中觀察到，是一種拓撲相位。

圖2 邁克爾·貝里和他研究的“磁懸浮青蛙” | 圖源：wikiwand.com/en/Ig_Nobel_Prize


貝里的有趣之處，除了因提出幾何相而出名外，還與荷蘭／英國安德烈·海姆（Andrey Geim）研究 “磁懸浮青蛙”，于1996年指出旋轉(zhuǎn)的磁體可以不受恩紹定理而懸浮，獲得2000年的搞笑諾貝爾物理獎（Ig Nobel Prize for Physics）。海姆后來因為對石墨烯的開創(chuàng)性實驗研究而獲得2010年諾貝爾物理獎，貝里也曾得到過沃爾夫物理獎等多種獎項。

由此可見，搞笑諾貝爾獎也不僅僅是一種戲謔調(diào)侃，可能更多的是體現(xiàn)了一種幽默，得獎者中也不乏創(chuàng)意之人，比如貝里和海姆兩位。

貝里在一個猶太家庭長大，父母分別是倫敦的出租車司機和裁縫。他擁有?？巳卮髮W的物理學學士學位和圣安德魯斯大學的博士學位。 從研究員到物理學教授，可以說，貝里的整個職業(yè)生涯都在布里斯托大學度過。從1988年到2006年，他還擔任皇家學會研究教授。


“可笑” 的問題

力和能量都是比較基本的物理概念。因為經(jīng)典物理始于牛頓力學，所以大多數(shù)人更為熟悉 “力”。例如，高中物理中就學過電場E和磁場B的概念，它們分別被定義為 “單位電荷所受的電場力”和“單位長度通電導線受到的磁場力”。換言之，對電荷產(chǎn)生影響的是力，或者說是電場E和磁場B。那么，如果在電子運動的空間中，每一個點的電場和磁場都為0的話，對電子的運動就應該沒有影響。

既然 “電場和磁場都為0”，對電子運動的影響從何而來呢？這個問題顯得有點可笑！然而，40多年前的阿哈羅諾夫就糾結(jié)于這個 “可笑” 的問題中。

實際上，描述電磁場的方式，除了用電場磁場（E和B）外，還可以用電磁勢（A，φ）。前者基于 “力”，后者基于 “能量”。

傳統(tǒng)概念認為 “力” 比 “能量” 更基本。也就是說，經(jīng)典麥克斯韋電磁理論的觀點認為，電場E和磁場B是更基本的、具觀測效應的物理量，標量勢φ和矢勢A只不過是為了計算方便而引入的可有可無的東西，僅僅具有數(shù)學意義，并不代表物理實質(zhì)。

并且，電磁勢還不是唯一的，不同的規(guī)范選擇下的電磁勢（A，φ）可以對應于同樣的（E，B），這點可以用 “勢能” 概念作類比：決定引力大小的，不是絕對勢能值，而是高度差。

然而，隨著量子力學的建立， “力” 概念逐漸淡出，變得次要，“能量” 概念越來越起主導作用。粒子具有波粒二象性，沒有確定的軌道，難以談 “力”，“能量” 則對宏觀微觀都適用。因此，在電子的薛定諤方程中，一般使用電磁勢而不是場強，于是便提出了 “哪一套物理量（A, φ還是E, B）更為基本?” 的問題。

上世紀60年代是量子理論中高能粒子物理及標準模型等蓬勃發(fā)展的時期，阿哈羅諾夫和玻姆，卻沒有追蹤這個熱門浪潮，孤獨地撲在兩個基本物理量（“力” 和 “能量”）的關聯(lián)上，提出了一個意義深刻的思想實驗 [2]。電磁理論中的電標勢φ和磁矢勢A，真的只是數(shù)學工具，沒有 “真實” 物理意義嗎？他們認為，問題最終應該由實驗來回答。



巧妙的實驗設計

他們尋找特別情況，為運動電子構想只有電磁勢（A, φ），沒有電場磁場（E或B）的環(huán)境，巧妙地來證實磁矢勢A和標勢φ是有物理意義的。

他們當時設計了電AB效應和磁AB效應兩種方案，電AB效應卻一直未能實現(xiàn)，但磁AB效應很快就實現(xiàn)了，并已被多次證實，這兒我們只介紹磁AB效應。

圖3 磁AB實驗示意圖


如上圖a所示，考慮一個理想化的通電螺旋線圈，電流在線圈內(nèi)部產(chǎn)生磁場。如果線圈非常細又非常長，磁場B將完全被限制在螺旋管內(nèi)部。在螺旋管外部的整個空間里，電場E和磁場B都為零，但是，磁矢勢A卻可以不為0。

此外，量子力學中有一個著名的楊氏雙縫電子干涉實驗（上圖b）[2]。在雙縫實驗中，電子通過兩條狹縫后，熒光屏上出現(xiàn)干涉條紋，從而證實了電子的波動性。

上圖c便是阿哈羅諾夫和玻姆的實驗構想——

在雙縫實驗的兩個狹縫間靠近狹縫處，插入一個非常細無限長的通電螺線管。實驗分兩步進行，第一步時線圈中不通電，調(diào)節(jié)光路使得屏幕上出現(xiàn)明暗相間的干涉條紋。然后，再將線圈通電。這時候，實驗結(jié)果也是干涉條紋，兩次的干涉條紋會發(fā)生變化而不同嗎？

線圈不通電，內(nèi)部外部的E、B都為0，A也為0。線圈通電，但緊密纏繞的螺線管將磁場完全包在了它的內(nèi)部，外部磁場仍然為0，不過，外部的A，也就是電磁勢不為0。

從經(jīng)典電磁理論觀點分析，兩種情況下電子運動的空間以內(nèi)均無電磁場，干涉圖像不會變化。雖然圈外的磁矢勢A不為0，但經(jīng)典理論認為A不影響電子運動。

然而，如果用量子理論來計算，卻會預期一個不同的結(jié)果。阿哈羅諾夫和波姆認為，通電螺線管的存在會使原來的干涉條紋產(chǎn)生移動（像上圖d 所顯示的那樣）。如果通過螺線管的電流反向，干涉圖像移動的方向也會反向。

在阿哈羅諾夫和波姆的文章中，他們不僅進行了理論計算，而且詳細設計了驗證的實驗。他們的想法和思想實驗引起了廣泛的關注。之后的近30年內(nèi)，有許多人進行了與此相關的實驗，得到兩位學者預期的結(jié)果。

然而，對此結(jié)果，物理學家們卻總是爭論不休，認為理論有缺陷，實驗也可能存在漏磁現(xiàn)象。一直到了1986年，日立公司的科學家Tonomura等人做了嚴格無漏磁通的實驗 [3]，才終于得到了學術界的最后認可。這個想法后來在超導體中也得到驗證。

至今，又過去了幾十年，AB效應已被物理學界完全肯定，并寫入了教科書，成為量子力學教材中不可缺少的基本概念。


回答 “世紀之爭”

AB效應之所以引起物理界關注幾十年，因為它涉及到量子理論的根本問題：定域性還是非定域性？也就是與愛因斯坦和波爾 “世紀之爭” 相類似的問題。AB效應，以及對貝爾1964年提出的貝爾不等式的實驗驗證，最終都證明了量子理論是非定域的。

經(jīng)典的麥克斯韋方程是定域性質(zhì)的微分方程。這種定域的描述方式是很容易得到公認的，如此描述的物質(zhì)間的相互作用是由場傳遞的接觸作用。它克服了牛頓力學 “超距作用” 的困難，將帶電粒子運動狀況的變化歸結(jié)為每一點的場對它逐點作用的結(jié)果。

因此，經(jīng)典電磁理論認為，只有空間中每一點的電磁場的強度，以及它使得運動電子經(jīng)過該點時所受到的電磁力，才是基本的，才具有可觀察的物理意義。同時，認為電磁勢不是物理可觀察量的另一關鍵點是：電場和磁場是規(guī)范不變的，而電磁勢在不同的規(guī)范下則取不同的值。

什么樣的物理量是基本的，代表物理實質(zhì)呢？也許我們可以舉個生活中的例子。

我們都知道，幾萬伏特的高壓電線對人是很可怕的，但是，停在上面的鳥兒卻仍然活蹦亂跳，絲毫感受不到危險。兩者的區(qū)別在于，我們?nèi)耸钦驹诘孛嫔?，高壓線的電壓相對于地面的數(shù)值很高；而在鳥兒能接觸到的局部小空間范圍內(nèi)，這個值卻沒有什么物理意義。鳥兒能感受到的、對它能表現(xiàn)物理效應的，是它兩只腳兩點間的電壓差，而不是某點電壓對地面的絕對數(shù)值。

因此，對鳥兒來說，完全可以作一個電壓的平移變換，將電線上某點的電壓值設為0，這樣來研究問題，計算要簡單些。因為有物理意義的電壓差是在平移變換中保持不變的，所以鳥兒感受到的物理效應在變換下將沒有任何區(qū)別。電磁理論中的規(guī)范變換便與此有點類似，雖然比鳥兒的問題要復雜許多，但也同樣能起到簡化計算，保持物理基本量不變的效果。

在經(jīng)典和量子的沖突中，還有兩個問題需要澄清。

首先，經(jīng)典理論認為物體間的相互作用是定域的，意味著相互作用只能在 “附近” 發(fā)生，也就是說任何物理效應都不可能以大于光速的速度傳遞，所以，定域性似乎保持了事件之間的因果性。然而，量子現(xiàn)象（例如AB效應和貝爾實驗）卻打破了定域性的概念，證明了量子理論是非定域的，那這是不是說量子理論允許超光速，違背了相對論呢？

事實上，相對論說的是能量和信息的傳播速度不能超過光速，量子現(xiàn)象中的超光速也許可以不解釋為這種情況。因此，量子理論非定域，不一定違反因果律。

第二個問題是：在AB實驗中，是否存在某種規(guī)范變換，使得線圈外所有點的磁矢勢A都變成0呢？

答案是否定的，因為AB效應與幾何相位（也稱拓撲相位）的概念有關，下面我們將看到：幾何相位與電子運動的動力學無關，而是僅僅與電子運動空間的拓撲結(jié)構有關，因此，一定的空間拓撲下，規(guī)范變換不能使電磁勢完全變成0！


AB效應的背后
簡單通俗地說，相位就是周期函數(shù)中旋轉(zhuǎn)的角度，因此，一般來說，相位的數(shù)值從0到360度變化。描述波動的兩個最簡單參數(shù)是相位和振幅，舉光波為例：振幅平方代表光強，相位的變化代表頻率，即顏色。干涉現(xiàn)象的本質(zhì)便是相位起作用（同相加，反相減）的結(jié)果。

上述的相位概念與波動的能量和時間有關，屬于 “動力學相位”。后來，科學家們發(fā)現(xiàn)了另外一種 “取決于循環(huán)路徑的空間幾何形狀（或拓撲）” 的相位，稱其為幾何相位。

幾何相位在近代物理學中非常重要，特別是在量子力學中，越來越顯示其重要性。不過，物理學家們對幾何相位的認識還剛開始，正處于逐步深化的過程中。

楊振寧先生在很多場合強調(diào)過兩件事，第一，相位是20世紀物理學的三大主旋律之一；第二，相位的根源在于幾何而非動力學。楊先生在這兒強調(diào)的正是幾何相位 [5]。

第一個發(fā)現(xiàn)幾何相位的，并不是貝里，而是印度物理學家S. Pancharatnam在1956年發(fā)現(xiàn)的，遺憾的是這位印度人還未對幾何相位作更深入的研究，30出頭就去世了。

之后在1984年，物理學家們尚未完全認可AB效應之時，英國布里斯托爾大學跳出來這位叫貝里的數(shù)學物理學家，向物理學界發(fā)出警告 [6]——

一個量子體系隨參數(shù)緩慢變化再回到原來狀態(tài)時，可能會帶來一個額外的相位因子。貝里認為這個相位因子不是由動力學產(chǎn)生的，而是由（某個）空間的幾何性質(zhì)而產(chǎn)生的，因此稱之為幾何相位。

此外，貝里還證明了這個相位因子是規(guī)范不變的，因而它很有可能具有可觀察的、不可忽視的物理意義。貝里認為，AB效應能用這個幾何相位因子來解釋 [7]。借用一個比喻，貝里的意思是說，在倒掉洗澡水的時候要小心哦，里面可能有小孩！

那么，什么時候洗澡水中會有小孩（幾何相位因子）呢？


貝里是在研究量子混沌的時候發(fā)現(xiàn)貝里相位的。我們先解釋一個經(jīng)典例子，可以使我們更容易理解量子力學中的幾何相位。

圖4 矢量平行移動一周后的變化（a）平面（b）球面


上圖是在平面和球面上分別作平行移動的例子：女孩從點1到點2再到點3，一直到點7，作平行移動一圈后回到點1（1和7是同一點）。所謂 ‘平行移動’ 的意思是說，她在移動的時候，盡可能保持身體（或是她的臉）相對于身體的中心線沒有旋轉(zhuǎn)。這樣，當她經(jīng)過1、2、3……回到1的時候，她認為她應該和原來出發(fā)時面對著同樣的方向。她的想法是正確的，如果她是在平面上移動的話（圖a）。

但是，假如她是在球面上移動的話，她將發(fā)現(xiàn)她面朝的方向可能不一樣了！圖b中紅色箭頭所指示的便是她在球面上每個位置時面對的方向。從圖中可見，出發(fā)時她的臉朝左，回來時卻是臉朝右。這是怎么回事呢？關鍵是球面與平面不同的幾何性質(zhì)起了決定性的作用。

所以，從上面的例子得出一個結(jié)論：貝爾所說的 “洗澡水” 中有時有小孩，有時沒小孩。在上述的例子中，如果在平面上 “洗”（平行移動），洗澡水中沒小孩。但如果是球面上洗，那就要小心了，不要糊里糊涂地把水給倒了，可能有個小孩在水里！

這個例子中，我們說，矢量方向改變的效應是幾何的，不是動力的。怎么樣改變就算是動力的呢？比如說，女孩自己將身體旋轉(zhuǎn)，扭來扭去，或者是在移動的過程中，被別的人或物體碰撞而產(chǎn)生了方向變化，或者說，女孩是在風中移動，狀態(tài)隨時間而改變積累起來的方向變化等等，都應算是動力性質(zhì)的。除去這些因素，只是因為經(jīng)過路徑所在的空間的幾何性質(zhì)，如前所說的平面或球面之不同而造成的方向改變，就是幾何的了。


取決于幾何

剛才是經(jīng)典比喻，在量子世界中的貝里相位也是這樣，有時是0，可以忽視；有時則不能忽視，比如上面介紹的AB效應中，就有一個不可忽略的貝里相因子。

什么時候可以忽略，什么時候不能忽略，則取決于電子空間路徑的幾何性質(zhì)。

從量子力學的觀點看，電子具有波粒二象性，它的運動用波函數(shù)來描述，這是量子理論與經(jīng)典理論的根本區(qū)別。任何波動，除了振幅之外，還有相位。雙縫實驗中屏幕上的干涉條紋，也就是從A和B經(jīng)過兩條路徑的電子波之間的相位差而產(chǎn)生出來的，如下圖a。

圖5 磁AB效應中通電線圈引起的相位因子Φ


現(xiàn)在，放了通電線圈之后，實驗中觀察到干涉圖像產(chǎn)生了移動，如圖b。那說明A路徑和B路徑之間的相位差發(fā)生了變化。如果我們用量子力學的理論，分別在沒線圈和有線圈的時候進行計算，的確發(fā)現(xiàn)通電線圈的存在，在兩條路徑中引入了一個額外的相位因子。如上圖a、b、c中的情況，相差了一個相位因子。這個相位差只依賴于螺線管里的磁通，不依賴于電子是否受到電磁場的直接作用。

AB效應深層次揭示了量子力學的非定域性與空間拓撲性質(zhì)的關系：當螺線管里的磁通存在時，電子圍繞這一復連通空間轉(zhuǎn)一圈，就會多一個幾何相因子。

這個相位因子，與電子經(jīng)過路徑上的電磁場強度無關，而是與原來認為不是物理實在的電磁勢（A, φ）有關。實際上，它就等于矢量勢A，沿著路徑B到C，然后再從C返回B，繞線圈轉(zhuǎn)一圈的環(huán)路積分。（在這兒，我們將靠得很近的A和B算作了同一個點B。）

那么，如果認可AB效應的實驗結(jié)果，原來對電磁勢的看法就要重新考慮。電磁勢可能在某種意義上也代表了物理實在！換言之，僅僅用場強來描述電磁現(xiàn)象似乎還不夠，還得把電磁勢加上去。

貝里還證明了這個相位因子是規(guī)范不變的，因此，只要線圈中有電流，即使線圈外每點的場強都是0，也能觀測到磁場的影響，由此而證明了AB效應的非定域性。


挖了個洞

我們也可以從拓撲的角度來解釋AB效應。

得到不可積相因子的根源，是來自于那個細長螺線線圈中的磁通量。磁場改變了空間的拓撲性質(zhì)。沒有磁場時，空間是平庸的、單連通的普通三維空間。

在AB效應中，通電螺線管的存在相當于在電子運動的三維空間中挖了一個長條線形的洞，使空間變成了非平庸的，也使得電磁矢量勢繞著螺線管積分一圈后，出現(xiàn)了一個不可積的相位因子。

因此，這個相位因子，并不是與每一點的局域電磁場（或電磁勢）有關，而是與電磁勢繞環(huán)路一圈的積分有關，這說明了什么呢？

比較微分而言，積分體現(xiàn)的是一種整體性質(zhì)。那么，這就說明AB效應不是一個局部效應，而是電磁勢產(chǎn)生的一個整體效應。

圖6 單連通和多連通。如果一個區(qū)域中的任何一條閉曲線，都能連續(xù)地收縮到區(qū)域中任何一點，此區(qū)域便被稱為單連通的。以下圖的二維圖形為例，圖a淡藍色圖形中的任何曲線，例如與圖中那條從B出發(fā)、到C、再回到B的類似曲線，都可以連續(xù)地變小而收縮到任何點。這說明那塊淡藍色圖形是 “單連通” 的。但是，如果在這個區(qū)域中挖一個或幾個洞，成為像圖b所示的淡藍色區(qū)域，情況便會有所不同。如果區(qū)域中的某條閉合曲線，有 “洞” 被包圍其中的話，就不可能連續(xù)收縮到一個點了。這種圖形空間便成為“多連通”的，也就是拓撲非平庸的了。


因此，貝里幾何相因子的研究使人們認識到量子系統(tǒng)（乃至經(jīng)典系統(tǒng)）的整體性質(zhì)的重要性，這也就是如今它成為了量子理論中一個普遍存在的重要概念的原因。

在數(shù)學上能描述空間整體性質(zhì)的理論就是拓撲學。如剛才所述，利用電磁場空間的連通性質(zhì)便能解釋經(jīng)典理論難以解釋的AB效應，那么，也許還有許多奇妙的量子現(xiàn)象，可能都和空間的拓撲性質(zhì)有關系，或許能用整體拓撲的概念來解釋它們。

事實上的確是這樣。

不過，剛才我們經(jīng)常說到的 “空間”，則遠遠不是僅限于我們生活于其中的三維空間了。量子理論中 “空間” 的概念是多樣化的，可以是真實的四維時空，也可以是相空間、晶體的倒格子空間、布里淵區(qū)，以及所謂系統(tǒng)的內(nèi)稟空間，包括自旋空間、描述系統(tǒng)哈密頓量的參數(shù)空間、波函數(shù)的希爾伯特空間等等。到底需要考慮哪個空間的幾何拓撲性質(zhì)，必須根據(jù)具體問題而具體分析。



 參考文獻：

[1] Quantized Hall Conductance in a Two-Dimensional Periodic Potential，D. J. Thouless, M.Kohmoto*, M. P. Nightingale, and M. den Nijs，Phys. Rev.Lett. 49, 405–408 (1982)。

[2 Aharonov, Y.; Bohm D. (1959)."Significance of electromagnetic potentials in quantum theory". Phys.Rev. 115: 485-491.

[3] 作者科學網(wǎng)博文《走近量子糾纏》- 楊氏雙縫電子干涉實驗：

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=677221&do=blog&id=534092

[4] Osakabe, N., T. Matsuda, T. Kawasaki, J.Endo, A. Tonomura, S. Yano, and H. Yamada, "Experimental confirmation ofAharonov-Bohm effect using a toroidal magnetic field confined by asuperconductor." Phys Rev A. 34(2): 815-822 (1986).

[5] Chen-Ning Yang，Einstein's impact on theoretical physics，Physics Today 33, 6,42 (1980)

[6] M. V. Berry (1984). "Quantal PhaseFactors Accompanying Adiabatic Changes". Proc. R. Soc. Lond. A 392 (1802):45–57.

[7]《簡單物理系統(tǒng)的整體性：貝里相位及其他》，李華鐘著，上?？茖W技術出版社，1998。




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