賭徒謬誤：賭博與大數(shù)定律丨張?zhí)烊貙?/h3>
2017/05/15
導讀
賭場背后的“數(shù)學原理”。
圖片來自Pexels
撰文 | 張?zhí)烊?（美國德州大學奧斯汀分校理論物理博士）
責編 | 呂浩然
概率論專欄
2017-03-16 上帝教人擲骰子——“神童”帕斯卡與概率論
2017-03-31 似是而非的答案：概率論悖論
2017-04-18 別相信直覺：概率論幫助偵破“財務造假”
● ● ●
先講一個賭場撈金的故事。
很多人都聽說過概率或統(tǒng)計中的蒙特卡羅（Monte-Carlo）方法，是一種在統(tǒng)計的基礎上利用大量數(shù)據(jù)進行計算的方法。這其中的蒙特卡羅指的并不是人名，而是摩納哥一個著名賭場的名字。自蒙特卡羅賭場于1865年開張后，摩納哥從一個窮鄉(xiāng)僻壤的彈丸之地，一躍成為歐洲最富有的國度之一，至今已經(jīng)150年過去，這個國家仍然是以賭場和相關的旅游業(yè)為主。
約瑟夫?賈格爾（Jagger）[1]是約克郡一個棉花工廠的工程師，在工作之余經(jīng)常光顧蒙特卡羅賭場，尤其對前文提到的輪盤游戲特別感興趣。他認為，輪盤機器在理想的情況下，每個數(shù)字出現(xiàn)的概率都是1/38。但是，機器怎么可能做到完美對稱呢？任何缺陷都可以改變獲獎號碼的隨機性，導致轉(zhuǎn)盤停止的位置偏向某些數(shù)字，使這些數(shù)字更為頻繁地出現(xiàn)。那么，賭徒應該可以利用這種偏向性來賺錢！
1873年，賈格爾下決心要改變自己的命運：他帶上所有的積蓄來到蒙特卡羅賭場，并雇用了六個助手，每個助手把守一個輪盤機器。白天，他們記錄每個輪盤的所有數(shù)據(jù)；晚上，賈格爾便在旅館里獨自分析這些數(shù)據(jù)中的規(guī)律。六天后，前五個輪盤的數(shù)據(jù)并沒有發(fā)現(xiàn)有意義的偏離，但第六個輪盤為賈格爾帶來了驚喜：38個數(shù)字中有9個數(shù)字出現(xiàn)的概率要比其余的頻繁得多！賈格爾興奮不已，第七天他前往賭場，認定了那臺有偏向性的輪盤，大量投注這九個高概率的數(shù)字，當天就賺了7萬。雖然后來賭場改變了策略，卻讓賈格爾獲取了一筆不菲的收入。
賈格爾是幸運的，但更多的賭徒卻是十賭九輸。主要原因有兩個：一方面是因為所有賭場游戲的概率設計本來就是以利于賭場為準，這樣賭場才能穩(wěn)賺不賠；另一方面，利用賭徒的心態(tài)也是賭博游戲設計者們的拿手好戲。賭徒謬誤便是一種常見的、不符合概率規(guī)則的錯誤心態(tài)，經(jīng)常被賭場利用。
賭徒謬誤（The Gambler's Fallacy）
賭徒謬誤大意是指將前后相互獨立的隨機事件當成有關聯(lián)的事件，例如拋硬幣時，無論拋幾次，任意兩次之間都是相互獨立的，并不相互產(chǎn)生影響。
道理雖簡單易懂，但有時仍會糊涂。比如，當你連拋了5次正面時，到了第6次，你可能會認為這次正面出現(xiàn)的概率會更小了（< 1/2），反面出現(xiàn)的概率會更大（> 1/2）。也有人會逆向思維，認為既然5次都是1，也可能繼續(xù)是1（也被稱為熱手謬誤）。實際上，這兩種想法都掉進了“賭徒謬誤”的坑。也就是說，將獨立事件當成了互相關聯(lián)事件。
圖1：賭徒謬誤
賭徒有了“賭徒謬誤”的心態(tài)，會輸?shù)酶鼞K。比如說，賭場中著名的輸后加倍下注系統(tǒng)（Martingale）便是利用此心態(tài)的實例：賭徒第一次下注1元，如輸了則下注2元，再輸則變成4元，如此類推，直到贏出為止。賭徒誤以為在連續(xù)輸了多次之后，勝出的概率會變大，所以愿意加倍又加倍地下注，殊不知其實概率是不變的，賭場的游戲機沒有記憶，不會因為你輸了就給你更多勝出的機會。
賭徒謬誤不僅見于賭徒，也經(jīng)常反映在一般人的思維方式中。中國人常說“風水輪流轉(zhuǎn)”，這句話在很多時候或許反映了現(xiàn)實，但如果將這種習慣性的思維方法隨意地應用到前后互相獨立的隨機事件上，便會跌入賭徒謬誤之中。
對“大數(shù)定律”的誤解
賭徒謬誤產(chǎn)生的另一個原因是對“大數(shù)定律”的誤解。
大數(shù)定律[2]指的是當隨機事件發(fā)生的次數(shù)足夠多時，發(fā)生的頻率趨近于預期的概率。
對一枚對稱硬幣而言，正面的預期概率是1/2。當我們進行n次實驗后，得到正面出現(xiàn)的次數(shù)n正，比值p正 = n正/n，叫做正面出現(xiàn)的頻率，此時p正不一定等于正面出現(xiàn)的概率（1/2）。但是，當n逐漸增大時，頻率將會逐漸趨近1/2。也就是說，頻率取決于多次實驗的結果，而概率則是一個極限值，實驗次數(shù)越大，頻率越趨近概率，這就是大數(shù)定律。
提出并證明了大數(shù)定律最早形式的是瑞士數(shù)學家雅各布?伯努利（Jakob Bernoulli ,1654－1705），雅各布也是概率論的重要奠基人之一。直到他死后的第8年，即1713年，大數(shù)定律才在《猜度術》（Ars conjectandi）中得以呈現(xiàn)，這本巨著也使概率論真正成為數(shù)學的一個分支，其中的大數(shù)定律和以后將會提到的由狄莫弗（A.de Moivre）和拉普拉斯（P.S.Laplace）導出的“中心極限定理”，是概率論中極其重要的兩個極限定理。
賭徒們對大數(shù)定律的誤解主要體現(xiàn)在對“多次重復”的理解。多少次試驗才算“足夠多”，才能到達大數(shù)定律能夠?qū)嵱玫拇髽颖緟^(qū)間？此問題的答案：理論上是無窮大，實際中難以定論。大多數(shù)情形是：還沒到“足夠多”，該賭徒便已經(jīng)財力耗盡、賭注輸光、兩手空空了！
有人喜歡買彩票，并且在每次填寫彩票時，要選擇以往中獎號碼中出現(xiàn)少的數(shù)字，還振振有詞地說這樣做的依據(jù)是大數(shù)定律：某個數(shù)字過去出現(xiàn)得少，以后就會多，為什么呢？“要滿足大數(shù)定律??！”，可見對大數(shù)定律誤解之深。
圖2：雅各布?伯努利和大數(shù)定律
而對賭徒思維誤區(qū)的專業(yè)解釋，便是將大數(shù)定律應用于試驗的小樣本區(qū)間，將小樣本中某事件的概率分布看成是總體分布，以為少數(shù)樣本與大樣本區(qū)間具有同樣的期望值，把短期頻率當成長期概率，或把無限的情況當成有限的情況來分析。實際上，這是在錯誤應用大數(shù)定律時的心理偏差，因此被心理學家卡尼曼和特維爾斯基戲稱為“小數(shù)法則”。事實上，任何一段有限次的試驗得到的頻率對于足夠多次的試驗的頻率幾乎沒有什么影響，大數(shù)定律說的是總頻率趨近于概率值，如圖2b所示，小樣本區(qū)間試驗的結果并不影響最后趨近的概率。
圣彼得堡悖論
與雅各布?伯努利同屬伯努利家族的尼古拉?伯努利（Nikolaus I. Bernoulli，1687年－1759年）也是一名熱衷研究賭博的數(shù)學家，他提出了著名的“圣彼得堡悖論”。為了理解這個悖論，首先從賭博游戲的期望值說起。
賭博的輸贏與期望值有關，期望值是以概率為權重的平均值。賭博的方式不一樣，“贏”的期望值也不一樣。以38個數(shù)字的輪盤為例，按照一般賭場的規(guī)矩，賭注押在其中一個數(shù)字上，如果押中，顧客得到$35，否則損失$1的賭注。顧客贏錢為正，損失為負，則顧客“贏錢”的期望值公式為：
E（顧客“贏”的期望值）= - 輸錢數(shù)*輸錢概率+贏錢數(shù)*贏錢概率
第一項是負值，表示是顧客“輸”掉的錢數(shù)。
由此而計算出上述假設條件下的期望值E= -1*37/38+35*1/38=-0.5。
可以看到，期望值是負數(shù)，對賭徒不利。但設想有個傻一點的賭場老板，將上面規(guī)則中的“贏錢數(shù)”$35改成$38的話，算出的期望值就會成為正數(shù)，這種策略就對顧客有利了，賭徒們高興了，將蜂擁而至。如果將$35改成$37呢？這時候算出來的期望值為0，意味著長遠來說，賭徒和賭場打平了，雙方不輸不贏（不計開賭場的費用），稱之為“公平交易”。
因此，期望值也是那些“理性賭徒”們決定“賭或不賭”的數(shù)學依據(jù)。
然而，根據(jù)這個數(shù)學依據(jù)作出的決策有時候完全不符合人們從經(jīng)驗和直覺所作的判斷。這是怎么回事呢？尼古拉?伯努利便以“圣彼得堡悖論”為例對此提出質(zhì)疑[4]。
圖3：圣彼得堡問題
尼古拉設想了一種簡單的游戲方案：顧客不需要每次下賭金，但得買一張價錢固定（m元）的門票參加，游戲規(guī)則如下：
顧客只是擲（公平）硬幣，擲出正面就停止，擲出反面就繼續(xù)擲，直到擲出正面為止，見圖3a。如果游戲停止了，顧客就能得到獎金，獎金的數(shù)目與擲的次數(shù)有關。游戲持續(xù)次數(shù)越高，獎金就越高。比如說，游戲停止時擲了n次，那么顧客可得獎金數(shù)為（2n）元。
敘述得更具體一點：如果第一次擲出正面，游戲停止，顧客只能得2元（21），若擲出反面，就繼續(xù)擲。若第二次擲出正面，顧客得4元（22），若擲出反面，又繼續(xù)擲……依次類推，顧客若一直得到反面直到第n次才擲出正面，獎金數(shù)便是（2n）元，獎金數(shù)隨n增大而指數(shù)增加。
現(xiàn)在，計算這個游戲中，顧客“贏錢”的期望值，即每次期望贏得的錢乘以概率后相加。然后，再將m元的門票作為負數(shù)放進去，得到期望值是：
從以上計算可見，無論門票m是多少（有限數(shù)），得到的期望值都是無窮大！這很詭異，因為“期望值無窮大”意味著無論收多高的門票，賭徒都會贏！這就出現(xiàn)了矛盾，因此，尼古拉認為這是一個悖論，人們在做決策的時候，并不僅僅考慮數(shù)學期望的大小，更多的是在考慮風險。數(shù)學期望值不能完全描述風險。
為什么叫“圣彼得堡悖論”呢？因為這個悖論被尼古拉提出卻是被其堂弟丹尼爾?伯努利解決的，丹尼爾提出經(jīng)濟學中的效用理論來解釋這個問題，論文發(fā)表在1738年圣彼得堡召開的一次學術會議上，所以得名為圣彼得堡悖論[5]。
賭博雖然是一種惡習，由它卻引發(fā)了不少有趣的數(shù)學問題，促進了概率論的發(fā)展，由于圣彼得堡悖論的解決而建立了“效用理論”，推動了經(jīng)濟學的發(fā)展。概率論中除了大數(shù)定律之外，還有一個極其重要的“中心極限定理”，有關中心極限定理極其應用，是我們下一篇的內(nèi)容。
參考資料：
[1] Wikipedia：Men who broke the bank at Monte Carlo
https://en.wikipedia.org/wiki/Men_who_broke_the_bank_at_Monte_Carlo
[2] 維基百科：大數(shù)定律
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E5%AE%9A%E5%BE%8B
[3] The Bernoulli Family, by H. Bernhard, Doubleday, Page & Company(1938) .
[4] "The St. Petersburg Paradox", The Stanford Encyclopedia of Philosophy
https://plato.stanford.edu/archives/fall2004/entries/paradox-stpetersburg/
[5] Bernoulli, Daniel: 1738, "Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk", Econometrica 22 (1954), 23-36.
制版編輯：李 赫丨
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撰文 | 張?zhí)烊?（美國德州大學奧斯汀分校理論物理博士）
責編 | 呂浩然
概率論專欄
2017-03-16 上帝教人擲骰子——“神童”帕斯卡與概率論
2017-03-31 似是而非的答案：概率論悖論
2017-04-18 別相信直覺：概率論幫助偵破“財務造假”
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先講一個賭場撈金的故事。
很多人都聽說過概率或統(tǒng)計中的蒙特卡羅（Monte-Carlo）方法，是一種在統(tǒng)計的基礎上利用大量數(shù)據(jù)進行計算的方法。這其中的蒙特卡羅指的并不是人名，而是摩納哥一個著名賭場的名字。自蒙特卡羅賭場于1865年開張后，摩納哥從一個窮鄉(xiāng)僻壤的彈丸之地，一躍成為歐洲最富有的國度之一，至今已經(jīng)150年過去，這個國家仍然是以賭場和相關的旅游業(yè)為主。
約瑟夫?賈格爾（Jagger）[1]是約克郡一個棉花工廠的工程師，在工作之余經(jīng)常光顧蒙特卡羅賭場，尤其對前文提到的輪盤游戲特別感興趣。他認為，輪盤機器在理想的情況下，每個數(shù)字出現(xiàn)的概率都是1/38。但是，機器怎么可能做到完美對稱呢？任何缺陷都可以改變獲獎號碼的隨機性，導致轉(zhuǎn)盤停止的位置偏向某些數(shù)字，使這些數(shù)字更為頻繁地出現(xiàn)。那么，賭徒應該可以利用這種偏向性來賺錢！
1873年，賈格爾下決心要改變自己的命運：他帶上所有的積蓄來到蒙特卡羅賭場，并雇用了六個助手，每個助手把守一個輪盤機器。白天，他們記錄每個輪盤的所有數(shù)據(jù)；晚上，賈格爾便在旅館里獨自分析這些數(shù)據(jù)中的規(guī)律。六天后，前五個輪盤的數(shù)據(jù)并沒有發(fā)現(xiàn)有意義的偏離，但第六個輪盤為賈格爾帶來了驚喜：38個數(shù)字中有9個數(shù)字出現(xiàn)的概率要比其余的頻繁得多！賈格爾興奮不已，第七天他前往賭場，認定了那臺有偏向性的輪盤，大量投注這九個高概率的數(shù)字，當天就賺了7萬。雖然后來賭場改變了策略，卻讓賈格爾獲取了一筆不菲的收入。
賈格爾是幸運的，但更多的賭徒卻是十賭九輸。主要原因有兩個：一方面是因為所有賭場游戲的概率設計本來就是以利于賭場為準，這樣賭場才能穩(wěn)賺不賠；另一方面，利用賭徒的心態(tài)也是賭博游戲設計者們的拿手好戲。賭徒謬誤便是一種常見的、不符合概率規(guī)則的錯誤心態(tài)，經(jīng)常被賭場利用。
賭徒謬誤（The Gambler's Fallacy）
賭徒謬誤大意是指將前后相互獨立的隨機事件當成有關聯(lián)的事件，例如拋硬幣時，無論拋幾次，任意兩次之間都是相互獨立的，并不相互產(chǎn)生影響。
道理雖簡單易懂，但有時仍會糊涂。比如，當你連拋了5次正面時，到了第6次，你可能會認為這次正面出現(xiàn)的概率會更小了（< 1/2），反面出現(xiàn)的概率會更大（> 1/2）。也有人會逆向思維，認為既然5次都是1，也可能繼續(xù)是1（也被稱為熱手謬誤）。實際上，這兩種想法都掉進了“賭徒謬誤”的坑。也就是說，將獨立事件當成了互相關聯(lián)事件。
圖1：賭徒謬誤
賭徒有了“賭徒謬誤”的心態(tài)，會輸?shù)酶鼞K。比如說，賭場中著名的輸后加倍下注系統(tǒng)（Martingale）便是利用此心態(tài)的實例：賭徒第一次下注1元，如輸了則下注2元，再輸則變成4元，如此類推，直到贏出為止。賭徒誤以為在連續(xù)輸了多次之后，勝出的概率會變大，所以愿意加倍又加倍地下注，殊不知其實概率是不變的，賭場的游戲機沒有記憶，不會因為你輸了就給你更多勝出的機會。
賭徒謬誤不僅見于賭徒，也經(jīng)常反映在一般人的思維方式中。中國人常說“風水輪流轉(zhuǎn)”，這句話在很多時候或許反映了現(xiàn)實，但如果將這種習慣性的思維方法隨意地應用到前后互相獨立的隨機事件上，便會跌入賭徒謬誤之中。
對“大數(shù)定律”的誤解
賭徒謬誤產(chǎn)生的另一個原因是對“大數(shù)定律”的誤解。
大數(shù)定律[2]指的是當隨機事件發(fā)生的次數(shù)足夠多時，發(fā)生的頻率趨近于預期的概率。
對一枚對稱硬幣而言，正面的預期概率是1/2。當我們進行n次實驗后，得到正面出現(xiàn)的次數(shù)n正，比值p正 = n正/n，叫做正面出現(xiàn)的頻率，此時p正不一定等于正面出現(xiàn)的概率（1/2）。但是，當n逐漸增大時，頻率將會逐漸趨近1/2。也就是說，頻率取決于多次實驗的結果，而概率則是一個極限值，實驗次數(shù)越大，頻率越趨近概率，這就是大數(shù)定律。
提出并證明了大數(shù)定律最早形式的是瑞士數(shù)學家雅各布?伯努利（Jakob Bernoulli ,1654－1705），雅各布也是概率論的重要奠基人之一。直到他死后的第8年，即1713年，大數(shù)定律才在《猜度術》（Ars conjectandi）中得以呈現(xiàn)，這本巨著也使概率論真正成為數(shù)學的一個分支，其中的大數(shù)定律和以后將會提到的由狄莫弗（A.de Moivre）和拉普拉斯（P.S.Laplace）導出的“中心極限定理”，是概率論中極其重要的兩個極限定理。
賭徒們對大數(shù)定律的誤解主要體現(xiàn)在對“多次重復”的理解。多少次試驗才算“足夠多”，才能到達大數(shù)定律能夠?qū)嵱玫拇髽颖緟^(qū)間？此問題的答案：理論上是無窮大，實際中難以定論。大多數(shù)情形是：還沒到“足夠多”，該賭徒便已經(jīng)財力耗盡、賭注輸光、兩手空空了！
有人喜歡買彩票，并且在每次填寫彩票時，要選擇以往中獎號碼中出現(xiàn)少的數(shù)字，還振振有詞地說這樣做的依據(jù)是大數(shù)定律：某個數(shù)字過去出現(xiàn)得少，以后就會多，為什么呢？“要滿足大數(shù)定律??！”，可見對大數(shù)定律誤解之深。
圖2：雅各布?伯努利和大數(shù)定律
而對賭徒思維誤區(qū)的專業(yè)解釋，便是將大數(shù)定律應用于試驗的小樣本區(qū)間，將小樣本中某事件的概率分布看成是總體分布，以為少數(shù)樣本與大樣本區(qū)間具有同樣的期望值，把短期頻率當成長期概率，或把無限的情況當成有限的情況來分析。實際上，這是在錯誤應用大數(shù)定律時的心理偏差，因此被心理學家卡尼曼和特維爾斯基戲稱為“小數(shù)法則”。事實上，任何一段有限次的試驗得到的頻率對于足夠多次的試驗的頻率幾乎沒有什么影響，大數(shù)定律說的是總頻率趨近于概率值，如圖2b所示，小樣本區(qū)間試驗的結果并不影響最后趨近的概率。
圣彼得堡悖論
與雅各布?伯努利同屬伯努利家族的尼古拉?伯努利（Nikolaus I. Bernoulli，1687年－1759年）也是一名熱衷研究賭博的數(shù)學家，他提出了著名的“圣彼得堡悖論”。為了理解這個悖論，首先從賭博游戲的期望值說起。
賭博的輸贏與期望值有關，期望值是以概率為權重的平均值。賭博的方式不一樣，“贏”的期望值也不一樣。以38個數(shù)字的輪盤為例，按照一般賭場的規(guī)矩，賭注押在其中一個數(shù)字上，如果押中，顧客得到$35，否則損失$1的賭注。顧客贏錢為正，損失為負，則顧客“贏錢”的期望值公式為：
E（顧客“贏”的期望值）= - 輸錢數(shù)*輸錢概率+贏錢數(shù)*贏錢概率
第一項是負值，表示是顧客“輸”掉的錢數(shù)。
由此而計算出上述假設條件下的期望值E= -1*37/38+35*1/38=-0.5。
可以看到，期望值是負數(shù)，對賭徒不利。但設想有個傻一點的賭場老板，將上面規(guī)則中的“贏錢數(shù)”$35改成$38的話，算出的期望值就會成為正數(shù)，這種策略就對顧客有利了，賭徒們高興了，將蜂擁而至。如果將$35改成$37呢？這時候算出來的期望值為0，意味著長遠來說，賭徒和賭場打平了，雙方不輸不贏（不計開賭場的費用），稱之為“公平交易”。
因此，期望值也是那些“理性賭徒”們決定“賭或不賭”的數(shù)學依據(jù)。
然而，根據(jù)這個數(shù)學依據(jù)作出的決策有時候完全不符合人們從經(jīng)驗和直覺所作的判斷。這是怎么回事呢？尼古拉?伯努利便以“圣彼得堡悖論”為例對此提出質(zhì)疑[4]。
圖3：圣彼得堡問題
尼古拉設想了一種簡單的游戲方案：顧客不需要每次下賭金，但得買一張價錢固定（m元）的門票參加，游戲規(guī)則如下：
顧客只是擲（公平）硬幣，擲出正面就停止，擲出反面就繼續(xù)擲，直到擲出正面為止，見圖3a。如果游戲停止了，顧客就能得到獎金，獎金的數(shù)目與擲的次數(shù)有關。游戲持續(xù)次數(shù)越高，獎金就越高。比如說，游戲停止時擲了n次，那么顧客可得獎金數(shù)為（2n）元。
敘述得更具體一點：如果第一次擲出正面，游戲停止，顧客只能得2元（21），若擲出反面，就繼續(xù)擲。若第二次擲出正面，顧客得4元（22），若擲出反面，又繼續(xù)擲……依次類推，顧客若一直得到反面直到第n次才擲出正面，獎金數(shù)便是（2n）元，獎金數(shù)隨n增大而指數(shù)增加。
現(xiàn)在，計算這個游戲中，顧客“贏錢”的期望值，即每次期望贏得的錢乘以概率后相加。然后，再將m元的門票作為負數(shù)放進去，得到期望值是：
從以上計算可見，無論門票m是多少（有限數(shù)），得到的期望值都是無窮大！這很詭異，因為“期望值無窮大”意味著無論收多高的門票，賭徒都會贏！這就出現(xiàn)了矛盾，因此，尼古拉認為這是一個悖論，人們在做決策的時候，并不僅僅考慮數(shù)學期望的大小，更多的是在考慮風險。數(shù)學期望值不能完全描述風險。
為什么叫“圣彼得堡悖論”呢？因為這個悖論被尼古拉提出卻是被其堂弟丹尼爾?伯努利解決的，丹尼爾提出經(jīng)濟學中的效用理論來解釋這個問題，論文發(fā)表在1738年圣彼得堡召開的一次學術會議上，所以得名為圣彼得堡悖論[5]。
賭博雖然是一種惡習，由它卻引發(fā)了不少有趣的數(shù)學問題，促進了概率論的發(fā)展，由于圣彼得堡悖論的解決而建立了“效用理論”，推動了經(jīng)濟學的發(fā)展。概率論中除了大數(shù)定律之外，還有一個極其重要的“中心極限定理”，有關中心極限定理極其應用，是我們下一篇的內(nèi)容。
參考資料：
[1] Wikipedia：Men who broke the bank at Monte Carlo
https://en.wikipedia.org/wiki/Men_who_broke_the_bank_at_Monte_Carlo
[2] 維基百科：大數(shù)定律
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E5%AE%9A%E5%BE%8B
[3] The Bernoulli Family, by H. Bernhard, Doubleday, Page & Company(1938) .
[4] "The St. Petersburg Paradox", The Stanford Encyclopedia of Philosophy
https://plato.stanford.edu/archives/fall2004/entries/paradox-stpetersburg/
[5] Bernoulli, Daniel: 1738, "Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk", Econometrica 22 (1954), 23-36.
制版編輯：李 赫丨
