數(shù)學(xué)家：大海撈針不稀奇，最普通東西的才最難找
「我們就像在用磁鐵找東西，但磁鐵根本沒(méi)法吸住干草，所以你能找到的就只有針了。」
編譯 | 一塊肉餅
“這簡(jiǎn)直就像是在干草堆里找一根干草。”[1]
當(dāng)我第一次從一位數(shù)學(xué)家口中聽(tīng)到這話時(shí)，我們正在通電話，討論如何尋找具有特定特征的某種形狀——我想，這家伙一定口誤了。
“你是想說(shuō)，就像在干草堆里找一根針，對(duì)么？”我?guī)缀趺摽诙觥?/span>
但他把剛剛的話又重復(fù)了一遍。
在數(shù)學(xué)中，最套路的思維方式往往會(huì)深深留在人們腦中。和我談話的那位數(shù)學(xué)家是來(lái)自肯塔基大學(xué)（University of Kentucky）的Dave Jensen。他的的確確就是在說(shuō)“在干草堆里找干草”。他試圖用這樣一個(gè)短語(yǔ)來(lái)描述數(shù)學(xué)研究中一個(gè)奇怪的事實(shí)：有時(shí)候，最普通的東西最難找。
“在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域里，你都在尋找某種事物的例子。這樣的例子數(shù)不勝數(shù)。但每當(dāng)你想把它寫(xiě)下來(lái)的時(shí)候，就會(huì)發(fā)現(xiàn)自己弄錯(cuò)了。”Jensen說(shuō)道。
早在我們孩提時(shí)代初學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，“干草堆里找干草”的現(xiàn)象就已經(jīng)出現(xiàn)了。數(shù)軸（此處特指實(shí)數(shù)軸）上的點(diǎn)包括正負(fù)整數(shù)（如2，-29），有理數(shù)（如32/1137），以及所有的無(wú)理數(shù)（如π和根號(hào)）。無(wú)理數(shù)占據(jù)了數(shù)軸上許多、許多的空間——事實(shí)上，如果要在數(shù)軸上隨機(jī)挑選一個(gè)數(shù)，100%你會(huì)得到一個(gè)無(wú)理數(shù)。
為什么是100%而不是99.9%？當(dāng)“無(wú)窮”這個(gè)東西出現(xiàn)在概率中時(shí)，奇怪的事情就發(fā)生了。二十世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·勒貝格（Henri Lebesque）提出了一種“測(cè)量手段”，讓人們能夠面對(duì)“無(wú)窮種可能性”時(shí)也能在數(shù)學(xué)層面上嚴(yán)格地計(jì)算概率。這種方法被稱(chēng)為勒貝格積分。
但即便無(wú)理數(shù)壓倒性地存在于世，我們卻幾乎從未在日常生活中遇見(jiàn)它們。我們用整數(shù)進(jìn)行計(jì)數(shù)，用分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題。我們最熟悉的數(shù)字其實(shí)都是數(shù)軸上的稀客——干草堆里頭的針。
正因?yàn)楦刹葸^(guò)于普通，才難以被找到。有理數(shù)的特征是，它們可以被準(zhǔn)確地寫(xiě)下來(lái)，從而引起人們的注意。而無(wú)理數(shù)有無(wú)窮盡的小數(shù)位，即便你有無(wú)窮盡的時(shí)間，也不可能把它們?nèi)珜?xiě)下來(lái)。這些無(wú)理數(shù)缺少的恰恰是一種無(wú)以倫比的性質(zhì)：“可寫(xiě)性（write-down-able-ness）”——這是它們“隱形”的秘訣。
“我們就像在用磁鐵找東西，但磁鐵根本沒(méi)法吸住干草，所以你能找到的就只有針了?！睌?shù)學(xué)家Dhruv Ranganathan如是說(shuō)。
“找干草”這件事其實(shí)出現(xiàn)在數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域里。在極少情況下，物體可以用簡(jiǎn)單的公式來(lái)表示：直線，拋物線，圓形和球體。它們就是“針”，也為我們所熟悉。
但成百上千的圖形拒絕被如此優(yōu)雅的方式所代表。它們可能出現(xiàn)在任何地方，但因?yàn)槟銦o(wú)法建立公式去描述它們，你便無(wú)法證明它們中的任何一個(gè)是否真的存在，哪怕一個(gè)都不能。
數(shù)學(xué)中有一個(gè)叫做“熱帶幾何（tropical geometry）”的領(lǐng)域，是代數(shù)幾何中的一個(gè)重要分支。它首次由巴西數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)科學(xué)家 Imre Simon 于 1980 年代提出?！盁釒А币辉~來(lái)自于當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界對(duì)巴西的刻板印想。熱帶幾何為我們提供巧妙而狡猾的方法，來(lái)推斷這些無(wú)所不在且又如無(wú)理數(shù)一般“普通”的幾何圖形——寫(xiě)不出來(lái)也好，畫(huà)不出來(lái)也罷，它們一直都在那里。
人們常常會(huì)遇到“要么這個(gè)東西存在”和“要么這個(gè)東西不存在”這樣非黑即白的情況。雖說(shuō)很難去判斷那些“普遍”的東西的存在與否，但如果你是一個(gè)數(shù)學(xué)家，你相信它們是存在的，相信它們具有組成任何事物的能力，你的任務(wù)就非常簡(jiǎn)單：找一個(gè)出來(lái)吧。
Ranganathan說(shuō)道，“這就像你堅(jiān)信大海里都是水。但每當(dāng)去取海水的樣品時(shí)，得到的卻是些出乎意料的東西：貝殼、石頭還有海藻。但是堅(jiān)持你的設(shè)想，不代表你要把整個(gè)海都掏個(gè)干凈。你需要做的有且只有一件事——找到水，一滴就足夠了?！?/p>
[1] 原文為“It’s like looking for hay in a haystack.” 這句英文俚語(yǔ)常被翻譯為“大海撈針”。但有趣的是，在本文中，“針”反而是最容易被找出來(lái)的。
參考資料
https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-cant-find-the-hay-in-a-haystack-20180917/
https://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Lebesgue
https://en.wikipedia.org/wiki/Tropical_geometry
https://www.quantamagazine.org/tinkertoy-models-produce-new-geometric-insights-20180905/
文章頭圖及封面圖片來(lái)源：《芝麻街》
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